3.1099 \(\int \frac{1}{(a+i a \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=354 \[ \frac{d (c-3 i d) \left (c^2+8 i c d+5 d^2\right )}{4 a^2 f (c-i d)^2 (c+i d)^4 (c+d \tan (e+f x))}+\frac{d \left (c^2+5 i c d+8 d^2\right )}{4 a^2 f (c-i d) (c+i d)^3 (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{2 d^3 \left (5 c^2-5 i c d-2 d^2\right ) \log (c \cos (e+f x)+d \sin (e+f x))}{a^2 f (-d+i c)^5 (d+i c)^3}+\frac{x \left (-10 c^3 d^2+30 i c^2 d^3+5 i c^4 d+c^5+45 c d^4-15 i d^5\right )}{4 a^2 (c-i d)^3 (c+i d)^5}+\frac{-5 d+i c}{4 a^2 f (c+i d)^2 (1+i \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{1}{4 f (-d+i c) (a+i a \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))^2} \]

[Out]

((c^5 + (5*I)*c^4*d - 10*c^3*d^2 + (30*I)*c^2*d^3 + 45*c*d^4 - (15*I)*d^5)*x)/(4*a^2*(c - I*d)^3*(c + I*d)^5)
- (2*d^3*(5*c^2 - (5*I)*c*d - 2*d^2)*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/(a^2*(I*c - d)^5*(I*c + d)^3*f) + (
d*(c^2 + (5*I)*c*d + 8*d^2))/(4*a^2*(c - I*d)*(c + I*d)^3*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) + (I*c - 5*d)/(4*a^2*(c +
I*d)^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - 1/(4*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e
+ f*x])^2) + ((c - (3*I)*d)*d*(c^2 + (8*I)*c*d + 5*d^2))/(4*a^2*(c - I*d)^2*(c + I*d)^4*f*(c + d*Tan[e + f*x]
))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.737881, antiderivative size = 354, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 5, integrand size = 28, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.179, Rules used = {3559, 3596, 3529, 3531, 3530} \[ \frac{d (c-3 i d) \left (c^2+8 i c d+5 d^2\right )}{4 a^2 f (c-i d)^2 (c+i d)^4 (c+d \tan (e+f x))}+\frac{d \left (c^2+5 i c d+8 d^2\right )}{4 a^2 f (c-i d) (c+i d)^3 (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{2 d^3 \left (5 c^2-5 i c d-2 d^2\right ) \log (c \cos (e+f x)+d \sin (e+f x))}{a^2 f (-d+i c)^5 (d+i c)^3}+\frac{x \left (-10 c^3 d^2+30 i c^2 d^3+5 i c^4 d+c^5+45 c d^4-15 i d^5\right )}{4 a^2 (c-i d)^3 (c+i d)^5}+\frac{-5 d+i c}{4 a^2 f (c+i d)^2 (1+i \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{1}{4 f (-d+i c) (a+i a \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^3),x]

[Out]

((c^5 + (5*I)*c^4*d - 10*c^3*d^2 + (30*I)*c^2*d^3 + 45*c*d^4 - (15*I)*d^5)*x)/(4*a^2*(c - I*d)^3*(c + I*d)^5)
- (2*d^3*(5*c^2 - (5*I)*c*d - 2*d^2)*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/(a^2*(I*c - d)^5*(I*c + d)^3*f) + (
d*(c^2 + (5*I)*c*d + 8*d^2))/(4*a^2*(c - I*d)*(c + I*d)^3*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) + (I*c - 5*d)/(4*a^2*(c +
I*d)^2*f*(1 + I*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - 1/(4*(I*c - d)*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e
+ f*x])^2) + ((c - (3*I)*d)*d*(c^2 + (8*I)*c*d + 5*d^2))/(4*a^2*(c - I*d)^2*(c + I*d)^4*f*(c + d*Tan[e + f*x]
))

Rule 3559

Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Sim
p[(a*(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(2*f*m*(b*c - a*d)), x] + Dist[1/(2*a*m*(b*c - a*d))
, Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[b*c*m - a*d*(2*m + n + 1) + b*d*(m + n + 1)*Tan
[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2
+ d^2, 0] && LtQ[m, 0] && (IntegerQ[m] || IntegersQ[2*m, 2*n])

Rule 3596

Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_
.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[((a*A + b*B)*(a + b*Tan[e + f*x])^m*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(2
*f*m*(b*c - a*d)), x] + Dist[1/(2*a*m*(b*c - a*d)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Si
mp[A*(b*c*m - a*d*(2*m + n + 1)) + B*(a*c*m - b*d*(n + 1)) + d*(A*b - a*B)*(m + n + 1)*Tan[e + f*x], x], x], x
] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && LtQ[m, 0] &&  !GtQ[n,
0]

Rule 3529

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[((
b*c - a*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1))/(f*(m + 1)*(a^2 + b^2)), x] + Dist[1/(a^2 + b^2), Int[(a + b*Tan[e +
f*x])^(m + 1)*Simp[a*c + b*d - (b*c - a*d)*Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c
- a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && LtQ[m, -1]

Rule 3531

Int[((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])/((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[((a*c +
b*d)*x)/(a^2 + b^2), x] + Dist[(b*c - a*d)/(a^2 + b^2), Int[(b - a*Tan[e + f*x])/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[a*c + b*d, 0]

Rule 3530

Int[((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])/((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(c*Log[Re
moveContent[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x], x]])/(b*f), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d,
0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[a*c + b*d, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{1}{(a+i a \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))^3} \, dx &=-\frac{1}{4 (i c-d) f (a+i a \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{\int \frac{-2 a (i c-3 d)-4 i a d \tan (e+f x)}{(a+i a \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^3} \, dx}{4 a^2 (i c-d)}\\ &=\frac{i c-5 d}{4 a^2 (c+i d)^2 f (1+i \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{1}{4 (i c-d) f (a+i a \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{\int \frac{-2 a^2 \left (c^2+5 i c d-16 d^2\right )-6 a^2 (c+5 i d) d \tan (e+f x)}{(c+d \tan (e+f x))^3} \, dx}{8 a^4 (c+i d)^2}\\ &=\frac{d \left (c^2+5 i c d+8 d^2\right )}{4 a^2 (c+i d)^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{i c-5 d}{4 a^2 (c+i d)^2 f (1+i \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{1}{4 (i c-d) f (a+i a \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{\int \frac{-2 a^2 \left (c^3+5 i c^2 d-13 c d^2+15 i d^3\right )-4 a^2 d \left (c^2+5 i c d+8 d^2\right ) \tan (e+f x)}{(c+d \tan (e+f x))^2} \, dx}{8 a^4 (c+i d)^2 \left (c^2+d^2\right )}\\ &=\frac{d \left (c^2+5 i c d+8 d^2\right )}{4 a^2 (c+i d)^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{i c-5 d}{4 a^2 (c+i d)^2 f (1+i \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{1}{4 (i c-d) f (a+i a \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{(c-3 i d) d \left (c^2+8 i c d+5 d^2\right )}{4 a^2 (c-i d)^2 (c+i d)^4 f (c+d \tan (e+f x))}-\frac{\int \frac{-2 a^2 \left (c^4+5 i c^3 d-11 c^2 d^2+25 i c d^3+16 d^4\right )-2 a^2 d \left (c^3+5 i c^2 d+29 c d^2-15 i d^3\right ) \tan (e+f x)}{c+d \tan (e+f x)} \, dx}{8 a^4 (c+i d)^2 \left (c^2+d^2\right )^2}\\ &=\frac{\left (c^5+5 i c^4 d-10 c^3 d^2+30 i c^2 d^3+45 c d^4-15 i d^5\right ) x}{4 a^2 (c+i d)^2 \left (c^2+d^2\right )^3}+\frac{d \left (c^2+5 i c d+8 d^2\right )}{4 a^2 (c+i d)^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{i c-5 d}{4 a^2 (c+i d)^2 f (1+i \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{1}{4 (i c-d) f (a+i a \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{(c-3 i d) d \left (c^2+8 i c d+5 d^2\right )}{4 a^2 (c-i d)^2 (c+i d)^4 f (c+d \tan (e+f x))}-\frac{\left (2 d^3 \left (5 c^2-5 i c d-2 d^2\right )\right ) \int \frac{d-c \tan (e+f x)}{c+d \tan (e+f x)} \, dx}{a^2 (c+i d)^2 \left (c^2+d^2\right )^3}\\ &=\frac{\left (c^5+5 i c^4 d-10 c^3 d^2+30 i c^2 d^3+45 c d^4-15 i d^5\right ) x}{4 a^2 (c+i d)^2 \left (c^2+d^2\right )^3}-\frac{2 d^3 \left (5 c^2-5 i c d-2 d^2\right ) \log (c \cos (e+f x)+d \sin (e+f x))}{a^2 (c+i d)^2 \left (c^2+d^2\right )^3 f}+\frac{d \left (c^2+5 i c d+8 d^2\right )}{4 a^2 (c+i d)^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{i c-5 d}{4 a^2 (c+i d)^2 f (1+i \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{1}{4 (i c-d) f (a+i a \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{(c-3 i d) d \left (c^2+8 i c d+5 d^2\right )}{4 a^2 (c-i d)^2 (c+i d)^4 f (c+d \tan (e+f x))}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 7.83018, size = 4395, normalized size = 12.42 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^3),x]

[Out]

(Sec[e + f*x]^2*(5*c^2*d^3*Cos[e] - (5*I)*c*d^4*Cos[e] - 2*d^5*Cos[e] + (5*I)*c^2*d^3*Sin[e] + 5*c*d^4*Sin[e]
- (2*I)*d^5*Sin[e])*((-2*I)*ArcTan[(-2*c*d*Cos[f*x] - c^2*Sin[f*x] + d^2*Sin[f*x])/(c^2*Cos[f*x] - d^2*Cos[f*x
] - 2*c*d*Sin[f*x])]*Cos[e] + 2*ArcTan[(-2*c*d*Cos[f*x] - c^2*Sin[f*x] + d^2*Sin[f*x])/(c^2*Cos[f*x] - d^2*Cos
[f*x] - 2*c*d*Sin[f*x])]*Sin[e])*(Cos[f*x] + I*Sin[f*x])^2)/((c - I*d)^3*(c + I*d)^5*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^
2) + (Sec[e + f*x]^2*(5*c^2*d^3*Cos[e] - (5*I)*c*d^4*Cos[e] - 2*d^5*Cos[e] + (5*I)*c^2*d^3*Sin[e] + 5*c*d^4*Si
n[e] - (2*I)*d^5*Sin[e])*(-(Cos[e]*Log[(c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x])^2]) - I*Log[(c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e
+ f*x])^2]*Sin[e])*(Cos[f*x] + I*Sin[f*x])^2)/((c - I*d)^3*(c + I*d)^5*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2) + (x*Sec[e
+ f*x]^2*(((-10*I)*c^2*d^3*Cos[e])/((c - I*d)^3*(c + I*d)^4*(c*Cos[e] + d*Sin[e])) - (10*c*d^4*Cos[e])/((c -
I*d)^3*(c + I*d)^4*(c*Cos[e] + d*Sin[e])) + ((4*I)*d^5*Cos[e])/((c - I*d)^3*(c + I*d)^4*(c*Cos[e] + d*Sin[e]))
+ (10*c^2*d^3*Sin[e])/((c - I*d)^3*(c + I*d)^4*(c*Cos[e] + d*Sin[e])) - ((10*I)*c*d^4*Sin[e])/((c - I*d)^3*(c
+ I*d)^4*(c*Cos[e] + d*Sin[e])) - (4*d^5*Sin[e])/((c - I*d)^3*(c + I*d)^4*(c*Cos[e] + d*Sin[e])) + ((2*Cos[2*
e] + (2*I)*Sin[2*e])*((5*I)*c^3*d^3 + (3*I)*c*d^5 + 2*d^6 - (5*I)*c^3*d^3*Cos[2*e] - 10*c^2*d^4*Cos[2*e] + (7*
I)*c*d^5*Cos[2*e] + 2*d^6*Cos[2*e] + 5*c^3*d^3*Sin[2*e] - (10*I)*c^2*d^4*Sin[2*e] - 7*c*d^5*Sin[2*e] + (2*I)*d
^6*Sin[2*e]))/((c - I*d)^3*(c + I*d)^5*(c + I*d + c*Cos[2*e] - I*d*Cos[2*e] + I*c*Sin[2*e] + d*Sin[2*e])))*(Co
s[f*x] + I*Sin[f*x])^2)/(a + I*a*Tan[e + f*x])^2 + (Sec[e + f*x]^2*(Cos[f*x] + I*Sin[f*x])^2*(Cos[2*e + 4*f*x]
/64 - (I/64)*Sin[2*e + 4*f*x])*((6*I)*c^8*Cos[e] - 14*c^7*d*Cos[e] + (18*I)*c^6*d^2*Cos[e] - 42*c^5*d^3*Cos[e]
+ (18*I)*c^4*d^4*Cos[e] - 42*c^3*d^5*Cos[e] + (6*I)*c^2*d^6*Cos[e] - 14*c*d^7*Cos[e] + (5*I)*c^8*Cos[e + 2*f*
x] - 11*c^7*d*Cos[e + 2*f*x] + (31*I)*c^6*d^2*Cos[e + 2*f*x] - 33*c^5*d^3*Cos[e + 2*f*x] + (63*I)*c^4*d^4*Cos[
e + 2*f*x] - 33*c^3*d^5*Cos[e + 2*f*x] + (53*I)*c^2*d^6*Cos[e + 2*f*x] - 11*c*d^7*Cos[e + 2*f*x] + (16*I)*d^8*
Cos[e + 2*f*x] + 2*c^8*f*x*Cos[e + 2*f*x] + (16*I)*c^7*d*f*x*Cos[e + 2*f*x] - 56*c^6*d^2*f*x*Cos[e + 2*f*x] -
(32*I)*c^5*d^3*f*x*Cos[e + 2*f*x] - 20*c^4*d^4*f*x*Cos[e + 2*f*x] + (80*I)*c^3*d^5*f*x*Cos[e + 2*f*x] - 120*c^
2*d^6*f*x*Cos[e + 2*f*x] - 30*d^8*f*x*Cos[e + 2*f*x] + (5*I)*c^8*Cos[3*e + 2*f*x] - 3*c^7*d*Cos[3*e + 2*f*x] +
(43*I)*c^6*d^2*Cos[3*e + 2*f*x] + 35*c^5*d^3*Cos[3*e + 2*f*x] - (25*I)*c^4*d^4*Cos[3*e + 2*f*x] + 127*c^3*d^5
*Cos[3*e + 2*f*x] - (111*I)*c^2*d^6*Cos[3*e + 2*f*x] + 89*c*d^7*Cos[3*e + 2*f*x] - (48*I)*d^8*Cos[3*e + 2*f*x]
+ 2*c^8*f*x*Cos[3*e + 2*f*x] + (12*I)*c^7*d*f*x*Cos[3*e + 2*f*x] - 28*c^6*d^2*f*x*Cos[3*e + 2*f*x] + (52*I)*c
^5*d^3*f*x*Cos[3*e + 2*f*x] + (100*I)*c^3*d^5*f*x*Cos[3*e + 2*f*x] + 60*c^2*d^6*f*x*Cos[3*e + 2*f*x] + (60*I)*
c*d^7*f*x*Cos[3*e + 2*f*x] + 30*d^8*f*x*Cos[3*e + 2*f*x] + (2*I)*c^8*Cos[3*e + 4*f*x] - 2*c^7*d*Cos[3*e + 4*f*
x] + (22*I)*c^6*d^2*Cos[3*e + 4*f*x] + 18*c^5*d^3*Cos[3*e + 4*f*x] + (110*I)*c^4*d^4*Cos[3*e + 4*f*x] + 10*c^3
*d^5*Cos[3*e + 4*f*x] + (130*I)*c^2*d^6*Cos[3*e + 4*f*x] - 10*c*d^7*Cos[3*e + 4*f*x] + (40*I)*d^8*Cos[3*e + 4*
f*x] + 4*c^8*f*x*Cos[3*e + 4*f*x] + (24*I)*c^7*d*f*x*Cos[3*e + 4*f*x] - 56*c^6*d^2*f*x*Cos[3*e + 4*f*x] + (104
*I)*c^5*d^3*f*x*Cos[3*e + 4*f*x] + (200*I)*c^3*d^5*f*x*Cos[3*e + 4*f*x] + 120*c^2*d^6*f*x*Cos[3*e + 4*f*x] + (
120*I)*c*d^7*f*x*Cos[3*e + 4*f*x] + 60*d^8*f*x*Cos[3*e + 4*f*x] + (2*I)*c^8*Cos[5*e + 4*f*x] + 2*c^7*d*Cos[5*e
+ 4*f*x] + (22*I)*c^6*d^2*Cos[5*e + 4*f*x] + 62*c^5*d^3*Cos[5*e + 4*f*x] - (130*I)*c^4*d^4*Cos[5*e + 4*f*x] -
74*c^3*d^5*Cos[5*e + 4*f*x] - (126*I)*c^2*d^6*Cos[5*e + 4*f*x] - 134*c*d^7*Cos[5*e + 4*f*x] + (24*I)*d^8*Cos[
5*e + 4*f*x] + 4*c^8*f*x*Cos[5*e + 4*f*x] + (16*I)*c^7*d*f*x*Cos[5*e + 4*f*x] - 16*c^6*d^2*f*x*Cos[5*e + 4*f*x
] + (176*I)*c^5*d^3*f*x*Cos[5*e + 4*f*x] + 280*c^4*d^4*f*x*Cos[5*e + 4*f*x] - (80*I)*c^3*d^5*f*x*Cos[5*e + 4*f
*x] + 240*c^2*d^6*f*x*Cos[5*e + 4*f*x] - (240*I)*c*d^7*f*x*Cos[5*e + 4*f*x] - 60*d^8*f*x*Cos[5*e + 4*f*x] + (8
0*I)*c^4*d^4*Cos[5*e + 6*f*x] + 112*c^3*d^5*Cos[5*e + 6*f*x] + (48*I)*c^2*d^6*Cos[5*e + 6*f*x] + 112*c*d^7*Cos
[5*e + 6*f*x] - (32*I)*d^8*Cos[5*e + 6*f*x] + 2*c^8*f*x*Cos[5*e + 6*f*x] + (8*I)*c^7*d*f*x*Cos[5*e + 6*f*x] -
8*c^6*d^2*f*x*Cos[5*e + 6*f*x] + (88*I)*c^5*d^3*f*x*Cos[5*e + 6*f*x] + 140*c^4*d^4*f*x*Cos[5*e + 6*f*x] - (40*
I)*c^3*d^5*f*x*Cos[5*e + 6*f*x] + 120*c^2*d^6*f*x*Cos[5*e + 6*f*x] - (120*I)*c*d^7*f*x*Cos[5*e + 6*f*x] - 30*d
^8*f*x*Cos[5*e + 6*f*x] + 2*c^8*f*x*Cos[7*e + 6*f*x] + (4*I)*c^7*d*f*x*Cos[7*e + 6*f*x] + 4*c^6*d^2*f*x*Cos[7*
e + 6*f*x] + (92*I)*c^5*d^3*f*x*Cos[7*e + 6*f*x] + 320*c^4*d^4*f*x*Cos[7*e + 6*f*x] - (500*I)*c^3*d^5*f*x*Cos[
7*e + 6*f*x] - 420*c^2*d^6*f*x*Cos[7*e + 6*f*x] + (180*I)*c*d^7*f*x*Cos[7*e + 6*f*x] + 30*d^8*f*x*Cos[7*e + 6*
f*x] + (6*I)*c^7*d*Sin[e] - 14*c^6*d^2*Sin[e] + (18*I)*c^5*d^3*Sin[e] - 42*c^4*d^4*Sin[e] + (18*I)*c^3*d^5*Sin
[e] - 42*c^2*d^6*Sin[e] + (6*I)*c*d^7*Sin[e] - 14*d^8*Sin[e] - 4*c^8*Sin[e + 2*f*x] - (11*I)*c^7*d*Sin[e + 2*f
*x] - 27*c^6*d^2*Sin[e + 2*f*x] - (33*I)*c^5*d^3*Sin[e + 2*f*x] - 57*c^4*d^4*Sin[e + 2*f*x] - (33*I)*c^3*d^5*S
in[e + 2*f*x] - 49*c^2*d^6*Sin[e + 2*f*x] - (11*I)*c*d^7*Sin[e + 2*f*x] - 15*d^8*Sin[e + 2*f*x] + (2*I)*c^8*f*
x*Sin[e + 2*f*x] - 16*c^7*d*f*x*Sin[e + 2*f*x] - (56*I)*c^6*d^2*f*x*Sin[e + 2*f*x] + 32*c^5*d^3*f*x*Sin[e + 2*
f*x] - (20*I)*c^4*d^4*f*x*Sin[e + 2*f*x] - 80*c^3*d^5*f*x*Sin[e + 2*f*x] - (120*I)*c^2*d^6*f*x*Sin[e + 2*f*x]
- (30*I)*d^8*f*x*Sin[e + 2*f*x] - 4*c^8*Sin[3*e + 2*f*x] - I*c^7*d*Sin[3*e + 2*f*x] - 41*c^6*d^2*Sin[3*e + 2*f
*x] + (41*I)*c^5*d^3*Sin[3*e + 2*f*x] + 25*c^4*d^4*Sin[3*e + 2*f*x] + (133*I)*c^3*d^5*Sin[3*e + 2*f*x] + 109*c
^2*d^6*Sin[3*e + 2*f*x] + (91*I)*c*d^7*Sin[3*e + 2*f*x] + 47*d^8*Sin[3*e + 2*f*x] + (2*I)*c^8*f*x*Sin[3*e + 2*
f*x] - 12*c^7*d*f*x*Sin[3*e + 2*f*x] - (28*I)*c^6*d^2*f*x*Sin[3*e + 2*f*x] - 52*c^5*d^3*f*x*Sin[3*e + 2*f*x] -
100*c^3*d^5*f*x*Sin[3*e + 2*f*x] + (60*I)*c^2*d^6*f*x*Sin[3*e + 2*f*x] - 60*c*d^7*f*x*Sin[3*e + 2*f*x] + (30*
I)*d^8*f*x*Sin[3*e + 2*f*x] - 2*c^8*Sin[3*e + 4*f*x] - (2*I)*c^7*d*Sin[3*e + 4*f*x] - 22*c^6*d^2*Sin[3*e + 4*f
*x] + (18*I)*c^5*d^3*Sin[3*e + 4*f*x] - 110*c^4*d^4*Sin[3*e + 4*f*x] + (10*I)*c^3*d^5*Sin[3*e + 4*f*x] - 130*c
^2*d^6*Sin[3*e + 4*f*x] - (10*I)*c*d^7*Sin[3*e + 4*f*x] - 40*d^8*Sin[3*e + 4*f*x] + (4*I)*c^8*f*x*Sin[3*e + 4*
f*x] - 24*c^7*d*f*x*Sin[3*e + 4*f*x] - (56*I)*c^6*d^2*f*x*Sin[3*e + 4*f*x] - 104*c^5*d^3*f*x*Sin[3*e + 4*f*x]
- 200*c^3*d^5*f*x*Sin[3*e + 4*f*x] + (120*I)*c^2*d^6*f*x*Sin[3*e + 4*f*x] - 120*c*d^7*f*x*Sin[3*e + 4*f*x] + (
60*I)*d^8*f*x*Sin[3*e + 4*f*x] - 2*c^8*Sin[5*e + 4*f*x] + (2*I)*c^7*d*Sin[5*e + 4*f*x] - 22*c^6*d^2*Sin[5*e +
4*f*x] + (62*I)*c^5*d^3*Sin[5*e + 4*f*x] + 130*c^4*d^4*Sin[5*e + 4*f*x] - (74*I)*c^3*d^5*Sin[5*e + 4*f*x] + 12
6*c^2*d^6*Sin[5*e + 4*f*x] - (134*I)*c*d^7*Sin[5*e + 4*f*x] - 24*d^8*Sin[5*e + 4*f*x] + (4*I)*c^8*f*x*Sin[5*e
+ 4*f*x] - 16*c^7*d*f*x*Sin[5*e + 4*f*x] - (16*I)*c^6*d^2*f*x*Sin[5*e + 4*f*x] - 176*c^5*d^3*f*x*Sin[5*e + 4*f
*x] + (280*I)*c^4*d^4*f*x*Sin[5*e + 4*f*x] + 80*c^3*d^5*f*x*Sin[5*e + 4*f*x] + (240*I)*c^2*d^6*f*x*Sin[5*e + 4
*f*x] + 240*c*d^7*f*x*Sin[5*e + 4*f*x] - (60*I)*d^8*f*x*Sin[5*e + 4*f*x] - 80*c^4*d^4*Sin[5*e + 6*f*x] + (112*
I)*c^3*d^5*Sin[5*e + 6*f*x] - 48*c^2*d^6*Sin[5*e + 6*f*x] + (112*I)*c*d^7*Sin[5*e + 6*f*x] + 32*d^8*Sin[5*e +
6*f*x] + (2*I)*c^8*f*x*Sin[5*e + 6*f*x] - 8*c^7*d*f*x*Sin[5*e + 6*f*x] - (8*I)*c^6*d^2*f*x*Sin[5*e + 6*f*x] -
88*c^5*d^3*f*x*Sin[5*e + 6*f*x] + (140*I)*c^4*d^4*f*x*Sin[5*e + 6*f*x] + 40*c^3*d^5*f*x*Sin[5*e + 6*f*x] + (12
0*I)*c^2*d^6*f*x*Sin[5*e + 6*f*x] + 120*c*d^7*f*x*Sin[5*e + 6*f*x] - (30*I)*d^8*f*x*Sin[5*e + 6*f*x] + (2*I)*c
^8*f*x*Sin[7*e + 6*f*x] - 4*c^7*d*f*x*Sin[7*e + 6*f*x] + (4*I)*c^6*d^2*f*x*Sin[7*e + 6*f*x] - 92*c^5*d^3*f*x*S
in[7*e + 6*f*x] + (320*I)*c^4*d^4*f*x*Sin[7*e + 6*f*x] + 500*c^3*d^5*f*x*Sin[7*e + 6*f*x] - (420*I)*c^2*d^6*f*
x*Sin[7*e + 6*f*x] - 180*c*d^7*f*x*Sin[7*e + 6*f*x] + (30*I)*d^8*f*x*Sin[7*e + 6*f*x]))/((c - I*d)^3*(c + I*d)
^5*f*(c*Cos[e] + d*Sin[e])*(c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x])^2*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.07, size = 726, normalized size = 2.1 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(1/(a+I*a*tan(f*x+e))^2/(c+d*tan(f*x+e))^3,x)

[Out]

-1/8*I/f/a^2/(c+I*d)^5*ln(tan(f*x+e)-I)*c^2+31/8*I/f/a^2/(c+I*d)^5*ln(tan(f*x+e)-I)*d^2+1/f/a^2/(c+I*d)^5*ln(t
an(f*x+e)-I)*c*d+2*I/f/a^2*d^6/(I*d-c)^3/(c+I*d)^5/(c+d*tan(f*x+e))+1/4/f/a^2/(c+I*d)^5/(tan(f*x+e)-I)*c^2-7/4
/f/a^2/(c+I*d)^5/(tan(f*x+e)-I)*d^2-1/4*I/f/a^2/(c+I*d)^5/(tan(f*x+e)-I)^2*c^2+2*I/f/a^2*d^4/(I*d-c)^3/(c+I*d)
^5/(c+d*tan(f*x+e))*c^2+1/2/f/a^2/(c+I*d)^5/(tan(f*x+e)-I)^2*c*d+2*I/f/a^2/(c+I*d)^5/(tan(f*x+e)-I)*c*d-1/2/f/
a^2*d^3/(I*d-c)^3/(c+I*d)^5/(c+d*tan(f*x+e))^2*c^4-1/f/a^2*d^5/(I*d-c)^3/(c+I*d)^5/(c+d*tan(f*x+e))^2*c^2-1/2/
f/a^2*d^7/(I*d-c)^3/(c+I*d)^5/(c+d*tan(f*x+e))^2-10*I/f/a^2*d^4/(I*d-c)^3/(c+I*d)^5*ln(c+d*tan(f*x+e))*c-1/8*I
/f/a^2/(I*d-c)^3*ln(tan(f*x+e)+I)-4/f/a^2*d^3/(I*d-c)^3/(c+I*d)^5/(c+d*tan(f*x+e))*c^3-4/f/a^2*d^5/(I*d-c)^3/(
c+I*d)^5/(c+d*tan(f*x+e))*c+1/4*I/f/a^2/(c+I*d)^5/(tan(f*x+e)-I)^2*d^2+10/f/a^2*d^3/(I*d-c)^3/(c+I*d)^5*ln(c+d
*tan(f*x+e))*c^2-4/f/a^2*d^5/(I*d-c)^3/(c+I*d)^5*ln(c+d*tan(f*x+e))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: RuntimeError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+I*a*tan(f*x+e))^2/(c+d*tan(f*x+e))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: RuntimeError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 2.31279, size = 2210, normalized size = 6.24 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+I*a*tan(f*x+e))^2/(c+d*tan(f*x+e))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

(I*c^7 - c^6*d + 3*I*c^5*d^2 - 3*c^4*d^3 + 3*I*c^3*d^4 - 3*c^2*d^5 + I*c*d^6 - d^7 + (4*c^7 + 12*I*c^6*d - 4*c
^5*d^2 + 340*I*c^4*d^3 + 940*c^3*d^4 - 1084*I*c^2*d^5 - 588*c*d^6 + 124*I*d^7)*f*x*e^(8*I*f*x + 8*I*e) + (4*I*
c^7 + 44*I*c^5*d^2 + 80*c^4*d^3 - 180*I*c^3*d^4 + 32*c^2*d^5 - 220*I*c*d^6 - 48*d^7 + (8*c^7 + 40*I*c^6*d - 72
*c^5*d^2 + 600*I*c^4*d^3 + 600*c^3*d^4 + 312*I*c^2*d^5 + 680*c*d^6 - 248*I*d^7)*f*x)*e^(6*I*f*x + 6*I*e) + (9*
I*c^7 - 13*c^6*d + 71*I*c^5*d^2 + 5*c^4*d^3 - 45*I*c^3*d^4 + 305*c^2*d^5 + 85*I*c*d^6 + 95*d^7 + (4*c^7 + 28*I
*c^6*d - 84*c^5*d^2 + 180*I*c^4*d^3 - 180*c^3*d^4 + 276*I*c^2*d^5 - 92*c*d^6 + 124*I*d^7)*f*x)*e^(4*I*f*x + 4*
I*e) + (6*I*c^7 - 14*c^6*d + 18*I*c^5*d^2 - 42*c^4*d^3 + 18*I*c^3*d^4 - 42*c^2*d^5 + 6*I*c*d^6 - 14*d^7)*e^(2*
I*f*x + 2*I*e) - ((160*c^4*d^3 - 480*I*c^3*d^4 - 544*c^2*d^5 + 288*I*c*d^6 + 64*d^7)*e^(8*I*f*x + 8*I*e) + (32
0*c^4*d^3 - 320*I*c^3*d^4 + 192*c^2*d^5 - 320*I*c*d^6 - 128*d^7)*e^(6*I*f*x + 6*I*e) + (160*c^4*d^3 + 160*I*c^
3*d^4 + 96*c^2*d^5 + 32*I*c*d^6 + 64*d^7)*e^(4*I*f*x + 4*I*e))*log(((I*c + d)*e^(2*I*f*x + 2*I*e) + I*c - d)/(
I*c + d)))/(16*(a^2*c^10 + 5*a^2*c^8*d^2 + 10*a^2*c^6*d^4 + 10*a^2*c^4*d^6 + 5*a^2*c^2*d^8 + a^2*d^10)*f*e^(8*
I*f*x + 8*I*e) + (32*a^2*c^10 + 64*I*a^2*c^9*d + 96*a^2*c^8*d^2 + 256*I*a^2*c^7*d^3 + 64*a^2*c^6*d^4 + 384*I*a
^2*c^5*d^5 - 64*a^2*c^4*d^6 + 256*I*a^2*c^3*d^7 - 96*a^2*c^2*d^8 + 64*I*a^2*c*d^9 - 32*a^2*d^10)*f*e^(6*I*f*x
+ 6*I*e) + (16*a^2*c^10 + 64*I*a^2*c^9*d - 48*a^2*c^8*d^2 + 128*I*a^2*c^7*d^3 - 224*a^2*c^6*d^4 - 224*a^2*c^4*
d^6 - 128*I*a^2*c^3*d^7 - 48*a^2*c^2*d^8 - 64*I*a^2*c*d^9 + 16*a^2*d^10)*f*e^(4*I*f*x + 4*I*e))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+I*a*tan(f*x+e))**2/(c+d*tan(f*x+e))**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.47502, size = 1087, normalized size = 3.07 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+I*a*tan(f*x+e))^2/(c+d*tan(f*x+e))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

-2*((5*c^2*d^4 - 5*I*c*d^5 - 2*d^6)*log(I*d*tan(f*x + e) + I*c)/(a^2*c^8*d + 2*I*a^2*c^7*d^2 + 2*a^2*c^6*d^3 +
6*I*a^2*c^5*d^4 + 6*I*a^2*c^3*d^6 - 2*a^2*c^2*d^7 + 2*I*a^2*c*d^8 - a^2*d^9) + (I*c^2 - 8*c*d - 31*I*d^2)*log
(tan(f*x + e) - I)/(16*a^2*c^5 + 80*I*a^2*c^4*d - 160*a^2*c^3*d^2 - 160*I*a^2*c^2*d^3 + 80*a^2*c*d^4 + 16*I*a^
2*d^5) + log(-I*tan(f*x + e) + 1)/(16*I*a^2*c^3 + 48*a^2*c^2*d - 48*I*a^2*c*d^2 - 16*a^2*d^3) - (3*c^4*d^2*tan
(f*x + e)^4 + 12*I*c^3*d^3*tan(f*x + e)^4 - 18*c^2*d^4*tan(f*x + e)^4 - 12*I*c*d^5*tan(f*x + e)^4 + 3*d^6*tan(
f*x + e)^4 + 6*c^5*d*tan(f*x + e)^3 + 10*I*c^4*d^2*tan(f*x + e)^3 + 20*c^3*d^3*tan(f*x + e)^3 - 260*I*c^2*d^4*
tan(f*x + e)^3 - 370*c*d^5*tan(f*x + e)^3 + 114*I*d^6*tan(f*x + e)^3 + 3*c^6*tan(f*x + e)^2 - 16*I*c^5*d*tan(f
*x + e)^2 + 75*c^4*d^2*tan(f*x + e)^2 - 400*I*c^3*d^3*tan(f*x + e)^2 - 955*c^2*d^4*tan(f*x + e)^2 + 720*I*c*d^
5*tan(f*x + e)^2 + 173*d^6*tan(f*x + e)^2 - 14*I*c^6*tan(f*x + e) + 18*c^5*d*tan(f*x + e) - 164*I*c^4*d^2*tan(
f*x + e) - 724*c^3*d^3*tan(f*x + e) + 970*I*c^2*d^4*tan(f*x + e) + 410*c*d^5*tan(f*x + e) - 32*I*d^6*tan(f*x +
e) - 19*c^6 - 28*I*c^5*d - 126*c^4*d^2 + 332*I*c^3*d^3 + 269*c^2*d^4 - 48*I*c*d^5 + 16*d^6)/((-64*I*a^2*c^7 +
64*a^2*c^6*d - 192*I*a^2*c^5*d^2 + 192*a^2*c^4*d^3 - 192*I*a^2*c^3*d^4 + 192*a^2*c^2*d^5 - 64*I*a^2*c*d^6 + 6
4*a^2*d^7)*(d*tan(f*x + e)^2 + c*tan(f*x + e) - I*d*tan(f*x + e) - I*c)^2))/f